2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(26)

　　3. 杂题

　　竞赛中出现的一些综合性较强的面积问题，一般采用简化图形或根据题意构造适当的图形来处理.

　　例9(1987年全俄中学生竞赛题)凸四边形ABCD的面积为S.K、L、M、N分别是AC、AD、BC和BD的中点.证明：SKLNM<0.5S.

　　证明 设P、Q分别是AB、CD的中点(如图40-9).注意到PLQM、MKNL都是平行四边形，且SKLNM=S，因此，只须证明KLNM含于PLQM内.

　　设PL、MQ分别交AC于E、F，则点K位于E、F之间.若不然，例如点K在线段AE上，则有AK≤AE，因EF=PM=AK=0.5AC，故有关系式AC=2AK=AK+EF≤AE+EF

　　例10(第20届全苏中学生竞赛题)M点在锐角△ABC的AC边上，作△ABM和△CBM的外接圆.问当M点在什么地方时，两外接圆公共部分的面积最小?

　　解 设O、O1分别是△ABM和△CBM外接圆的圆心.两外接圆的公共部分面积是两个以BM为公共弦的弓形面积之和，可以考虑保时弓形的面积最小.

　　注意到

　　∠BOM=2∠BAM=常数.

　　∠BO1M=2∠BCM=常数.

　　因此，研究当弓形所对的圆心角固定时，弓形面积与弓形弦的关系.设圆心角为α，弓形弦长为b，那么弓形的面积为

　　由此可见，上图中若BM越小，则每个弓形的面积越小、所以当BM是△ABC的高，即BM⊥AC，M为垂足时，两外接圆公共部分的面积最小.

　　例11 设A、B为半径等于1的⊙O上任意两点，若过A、B的任意线段或曲线段L将⊙O面积平分，则L的长l必不小于2.

　　证明 若AB为⊙O的直径，且L为直线时，显然L将⊙O面积平分，这时l=2.

　　若AB是⊙O的直径，L不是直线时，则l>AB，即l>2.

　　若AB不是⊙O的直径，如图40-11，作平行于AB的直径MN，作A关于MN的对称点A′，A′必在⊙O上，连A′B，易知A′B为⊙O的直径.由曲线L平分⊙O知，L上必有点与A、B在MN的异侧.取这样的一点C，并连结AC、BC，AC交MN于D，连BD、A′D，则

　　据此易证l≥AC′+BC′>2.

　　综上得l≥2，即L的长必不小于2.

　　最后我们介绍解决三角形面积问题的一个重要技巧——三角形的剖分.将任意△ABC的三边BC、CA、AB分别分成n等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，这样将△ABC分成若干个全等的小三角形(如图40-12)的手续，叫做对△ABC进行剖分.究竟分成多少等分，则视需要而定.

　　例12(1984年全国数学竞赛题)P为△ABC的边BC上任一点，作PE∥AB，PF∥AC.设△ABC的面积等于1.求证：△BPF、△PCE、四边形AFPE的面积中，至少有一个不小于

　　证明 如图40-13，作△ABC的剖分.这时每一个小三角形的面积均等于.

　　显然，如果点P在线段BA1上变动时，△PCE完整地盖住了四个小三角形，因此△PCE的面积≥.对称地，如果点P落在线段A2C上，则△BPF的面积≥.

　　余下的只须讨论点P在线段A1A2内变动的情形，利用平行线的基本性质可证.

　　△FC2I≌△MA1P≌△NJG.

　　这说明上图中带阴影的两个三角形有相等的面积.又因为

　　△ EJ2B≌△NPA2≌△MGI，

　　这说明图中涂黑了的两个三角形面积相等.

　　将四边形AFPE中△NJG剪下来再拼到△FC2I上;把△MGI剪下来再拼到△EB2J2上，我们看出：

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