2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(27)

　　2.正比便函数、反比便函数及一次函数

　　例8 (1987年浙江省初中竞赛题)已知y=y1+，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=2和x=3时，y的值都为19.求y与变量x的函数关系式.

　　解 设y1=k1x，y2=(k1，k2均不为零)，

　　则 y=y1+=k1x+.

　　将x=2，x=3代入y=y1+得

　　∴ y=5x+

　　例9(1986年吉林八市初中数学竞赛题)一次函数y=ax+b(a≠0)有一组对应值x=,y=0.试证y=ax+b不能有二组以上的有理数的对应值.

　　证明 若y=ax+b存在两组不同的有理数对应值(x1，y1)，(x2，y2)，而函数式为y=a(x-)，

　　故

　　∵a≠0，消去a可得(y2-y1)=x1y2-x2y1.

　　∵x1y2-x2y1是有理数.

　　∴y2-y1=0，即y1=y2，

　　∴x1y1-x2y1=0.

　　即(x1-x2)y1=0.

　　若y1=0，则x1=，但这与假设矛盾，故不可能.

　　∴y1≠0，从而x1=x2也不可能.

　　∴y=ax+b不能有两组以上的有理数的对应值.

　　3.二次函数

　　关于二次函数,我们最关心的是应用二次函数的图象和极值定理解一些应用问题.

　　例10(1987年浙江初中数学竞赛题)设二次函数y=(a+b)x2+2cx-(a-b)，其中a，b，c是三角形的三边，且b≥a,b≥c.已知x=-这个二次函数有最小值为-，求△ABC三内角A、B、C的度数.

　　解散 由题设，二次函数图象的顶点坐标是

　　(-，-)，即().

　　于是

　　①②

　　由①得a+b=2c，

　　代入②得(b-c)+(b-a)=0.

　　∵b≥a,b≥cb-c=0,b-a=0,

　　即 a=b=c.△ABC为正三角形,A=B=C=60°.

　　例11 (1989年全国初中数学竞赛题)如图31-1,△ABC中,D、E分别是边BC、AB上的点，且∠1=∠2=∠3,如果△ABC,△EBD,△ADC的周长依次为m,m1,m2,证明:

　　证明 由已知可得DE∥AC，进而

　　△EBD∽△ABC∽△DAC. ①

　　∴②

　　③

　　∴

　　于是有

　　在这里,我们是将看成关于的二次函数,利用配方法来处理的.

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