2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(27)

　　4.其它

　　下面我们再利用配方法来解一个多元函数的最值问题.

　　例12 (1978年日本半桥技术科学大学入学题)在边长为a的正三角形中,设点P、Q、R在边BC,CA,AB上运动,并保持的关系,设，△PQR的面积为S.

　　(1)用x、y、z表示S;(2)求S的最大值;

　　(3)求S取最大值时，、、的值.

　　解(1)S=S△ABC-(S△AQR+S△BRP+S△CPQ).

　　∵S△ABC=a2，

　　S△AQR=z(a-y)sin60°

　　=z(a-y).

　　同样S△BRP=x·(a-z),

　　S△CPQ=y(a-x).

　　∴S=a2-[z(a-y)+x(a-z)+y(a-x)]

　　=a2-a(x+y+z)+

　　(yz+yx+xy)

　　=a2-a2+(yz+yx+xy)

　　=(yz+yx+xy). ①

　　(2)将z=a-x-y代入①消去z得

　　S=[(a-x-y)(x+y)+xy]

　　=-[x2+(y-a)y+y2-ay],

　　∴S=-)

　　≤

　　当x+时，上式取等号，

　　即x=y=z=时，Smax=a2，

　　(3)根据(2)，当S取最大值时，x=y=z=.

　　在△CPQ内，CQ=，CP=.由余弦定理得

　　最后，我们把视线转向分段函数的极值问题.

　　例13(1968～1969年波兰竞赛题)已知两两互异的实数a­1，a2，…，an.求由式子(x为实数)y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|所定义的函数的最小值.

　　解 我们首先研究一个简单的事实：

　　设a

　　u=|x-a|+|x-b|=

　　u在a≤x≤b上每一点达到最小值:

　　-a+b. ①

　　下面我们来研究原命题:对a1,a2,…，an重新按从小到大排序为a1′,a2′,…an′.

　　于是，当n为偶数，即n=2m时，将原函数重新记为

　　y=(|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|

　　+…+|x-am′|+|x-a′m+1).

　　令y=|x-a′i|+|x-a′n+1-i|,由①,它在ai≤x≤an+i上取最小值-ai+an+1-i.

　　又∵每一个区间都包含着下一个区间，即[a1,an]

　　[a2,an-1]…[am，am-1](“”读作包含，如AB，读作A包含B)，因此它们的公共区间为[am，am+1].由于在区间[am，am+1]每点上所有yi都取常数最小值，为了方便令x=am或x=am+1于是

　　y最小值=-a1+an-a2+an-1+…-am+am+1

　　=-a1-a2-…-am+am+1+am+2+…+an.

　　当n为奇数时，将原函数记为

　　y=(|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|)

　　+…+(|x-am′|+|x-a′m+2|)+|x-a′m+1|.

　　类似上面的讨论，当x=am+1时，

　　y最小值=-a1-a2-…-am+am+2+am+3+…+an.

　　2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座汇总

　　2011年中考数学备考辅导：选择题精选汇总

　　名师解读南京2011年中考数学命题趋势