2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(28)

　　3.换元

　　换元使复杂的问题变得简洁明了.

　　例4 设a+b+c=3m,求证:

　　(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.

　　证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c则

　　p+q+r=0.

　　P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0

　　∴p3+q3+r3-3pqr=0

　　即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0

　　例5 (民主德国竞赛试题) 若,试比较A、B的大小.

　　解 设 则

　　.

　　∵2x>y ∴2x-y>0, 又y>0,

　　可知 ∴A>B.

　　4.设参

　　当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.

　　例6 若求x+y+z的值.

　　解 令

　　则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,

　　∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.

　　例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,

　　,求a+b+c的值.

　　解 设 a+b+c=k

　　则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.

　　由条件知

　　即

　　∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,

　　∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.

　　∵a2+b2+c2=1,

　　∴k=a3+b3+c3-3abc

　　=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc

　　=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),

　　=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),

　　∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),

　　∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,

　　∴k(-ab-bc-ac)=0.

　　若K=0, 就是a+b+c=0.

　　若-ab-bc-ac=0,

　　即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,

　　∴(a+b+c)2=1,

　　∴a+b+c=±1

　　综上知a+b+c=0或a+b+c=±1

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