2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(32)

　　3. 一个定理的应用定理

　　已知△ABC、△DBC共边BC，AD交BC或其延长线于E，则 分析 当B或C点与E重合时，结论显然成立.当B、C都不与E重合时，有两种情况：若E在BC之间，由△ABE= 易知结论成立;若E在BC之外类似可证.证明略.

　　这个定理叙述的事实虽然简单,但却能解决大问题.

　　例8 (1987年全国初中数学联赛试题)如图23-8已知四边形ABCD内有一点E,连接AE、BE、CE、DE，将四边形ABCD分成四个面积相等的三角形，那么命题( ).

　　甲. ABCD是凸四边形; 此处无图

　　乙. E是对角线AC的中点或对角线BD的中点;

　　丙. ABCD是平行四边形中.

　　(A) 只有甲正确 (B)只有乙正确 (C)甲、乙、丙都正确 (D)甲、乙、丙都不正确

　　分析 如果ABCD是以AC为对称轴的凹四边形，易见AC的中点具有题中E点所要求的性质，所以甲、丙都不正确.

　　设AE、BE、CE、DE将四边形ABCD分成四个面积相等的三角形，BD、AC交于F，由△ABE=△ADE及本讲定理知F是BD的中点，即E在AF上.

　　如果F与E重合，则E是BD的中点，乙成立.如果F与E不重合，同理由△BEC=△DEC是E在直线CF上，也就是说A、C都在直线EF上.再由△ABE=△BEC，得AE=EC，所以E是AC的中点，乙成立.所以选(B).

　　如果将三点A、B、C在一条直线上看成是△ABC的蜕化情况，那么A、B、C三点共线等价于△ABC=0.由此引出证明三点共线的一条极自然的思路:欲证三点A、B、C共线，只要证明△ABC=0.为了计算△ABC的面积，常在A、B、C之外适当选一点P，如果△PAB、△PBC、△PAC三者之中一个等于另两个之和，则自然有△ABC=0，这方面传统的例子是梅内劳斯定理的证明.

　　例9在图33-9△ABC的两边AB、AC上分别取E、F两点，在BC的延长线上取点D，使 则D、E、F三点共线. 此处无图

　　证明 设 则 于是 ①

　　②

　　③

　　由①、②、③易得△BDE=△BEF+△BDF，

　　∴D、E、F三点共线.

　　说明：A、B、C共线即点B在直线AC上.由此即知欲证l1、l2、l3共点，只要证l1、l2的交点B在直线l3上，若在l3上别取点A、C，则只要证明△ABC=0即可.看来三线共点的问题可转化为三点共线来解决，这方面典型的例子是塞瓦定理的证明(见练习题).

　　最后，我们来看一个漂亮的作图问题.

　　例10设A、B是直线l1上的两点，而C、D是直线l2上的两点，l1与l2交于O，作出平面上一切满足条件△PAB=△PCD的点P.

　　分析 如图23-10，在l1上取E、F，使O为EF中点且EO=AB;在l2上取G、H，使O为GH中点且GO=CD.不妨设E、G、F、H之顺序使EGFH成为以O为中心的平行四边形.设EG、GF、FH、HE之中点顺次为M、S、N、R，则P点为直线MN和RS上的一切点.

　　设P为RS上或MN上任一点，由作图知△PAB=△PFO，△PCD=△PGO.由本讲定理知△PFO=△PGO，所以△PAB=△PCD.当P点不在直线MN上且不在RS上时，可以用反证法证明△PAB≠△PCD.

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