2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(32)

　　练习二十三

　　1. 选择题

　　(1)等腰△ABC中，一腰上的高线长为 ，这个高线与底边的夹角是 ，△ABC的面积是( ).

　　(A) (B)2 (C)2 (D) (E)以上答案都不对

　　(2)如图，ABCD是面积为1的正方形，△PBC为正三角形，则△BPD的面积为( ).

　　(A) (B) (C) (D) (E) (3)已知等腰△ABC一腰上的中线为15，底边上的高为18，则△ABC的面积是( ).

　　(A)124 (B)144 (C)150 (D)以上答案都不对

　　2.填空题

　　(1) 已知一张矩形纸片ABCD,AB=a,BC=Ka,将纸片折叠一次,使顶点A与C重合,如果纸片不重合部分面积为 ,则K=__________.

　　(2) 已知等腰梯形ABCD的两对角线AC、BD互相垂直相交，且梯形的面积为100cm2，则梯形的高h=_________.

　　(3) (第3届美国数学邀请赛试题)如图所示,将△ABC的三个顶点与同一个内点连接起来,所得三条联线把△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图上标明. △ABC的面积是_________.

　　(4) (1984年西安初中数学竞赛题)设△ABC的面积为1, 则△DEF的面积是___________.

　　3.如图,B在AC上,Q在PR上,PB∥QC，AQ∥BR.求证：AP∥CR.

　　4.(1974年加拿大中学生笛卡尔数学竞赛题)设AD为△ABC一中线，引任一直线CF交AD于E，交AB于F.

　　证明AE·FB=2AF·ED.

　　5.(塞瓦定理)设X、Y、Z分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，若

　　则AX、BY、CZ三线共点.

　　6.(1983年中学生联合数学竞赛题)如图，在四边形ABCD中△ABD，△BCD，△ABC的面积比是3：4：1，点M，N分别在AC，CD上，满足AM：AC=CN：CD，并且B、M、N三点共线，求证：M与N分别是AC与CD的中点.

　　此处无图

　　7.P为△ABC内部一点，P到边AB、AC的距离为PE、PF，PE=q，PF=r，PA=x，求证：ax≥cq+br.(a，b，c为相应顶点对应的边长)

　　8.三角形的两边不等，则大边加上这边上的高，不小于小边加上小边上的高.

　　9.设△ABC的面积S=1.试分别在边BC、CA、AB上依次我一内点E、F、G，使得△EFG的面积 适合 < <

　　练习二十三

　　1.A　　D　　B

　　2.(1)4- . (2)10 (3)315.

　　(4) 3.连PC、BQ.△PQC=△BQC，△ABR=△BQR

　　∴△PRC=SQRCB=△ARC，∴AP∥CR.

　　4.连BE后，引入三个面积参数，即S1=△AEF，S2=△BEF，S3=△BED=△DEC则△AEC=△ABE=S1+S2.

　　5.设AX与BY交于点O，连ZO、OC.设 易知△AOZ=λ△BOZ，△AOC=λμ△AOB=λμ( )=λ△BOC，

　　∴△BOZ+△BOC=△ABC-△AOZ-△AOC

　　=△ABC-λ△BOZ-λ△BOC

　　∴△BOZ+△BOC= △ABC=△BZC

　　∴Z、O、C共线.∴AX、BY、CZ共点.

　　6. 设 及△ABC=1.

　　这时，△ABD=3，△BCD=4，△ACD=3+4-1=6.△ABM=r，△BCM=1-r，△BCN=4r，△ACN=6r，△CNM=△BCN-△BCM=4r-(1-r)=5r-1，△AMN=△ACN-△CNM=6r-(5r-1)=r+1

　　.因此， 所以 解得 即M与N分别是AC与CD的中点.

　　7作AH⊥BC，设AH=h.又作PD⊥BC，设PD=p.显然ah=ap+cq+rb，∴cq+br=a(h-p)≤ax.

　　8.如图，设AB=c，AC=b，c>b.BD=hb，CE=hc.易知b-hc≥0，c-hb≥0，chc=bhb.∴bc-chc=bc-bhb=b(c-hb)

　　9.作法：如图，作△ABC的中位线B′C′并延长B′C′至M，使B′M= B′C′.作B′E⊥BC，垂足为E(当∠A为△ABC的最大内角时，E必为BC的内点)，作MD∥B′E，交AB于D.选DC′的任一内点G，连结GB′、CE，并将点B′改名为F，则△EFG即为所求.

　　练习二十三

　　1.A　　D　　B

　　2.(1)4- . (2)10 (3)315.

　　(4) 3.连PC、BQ.△PQC=△BQC，△ABR=△BQR

　　∴△PRC=SQRCB=△ARC，∴AP∥CR.

　　4.连BE后，引入三个面积参数，即S1=△AEF，S2=△BEF，S3=△BED=△DEC则△AEC=△ABE=S1+S2.

　　5.设AX与BY交于点O，连ZO、OC.设 易知△AOZ=λ△BOZ，△AOC=λμ△AOB=λμ( )=λ△BOC，

　　∴△BOZ+△BOC=△ABC-△AOZ-△AOC

　　=△ABC-λ△BOZ-λ△BOC

　　∴△BOZ+△BOC= △ABC=△BZC

　　∴Z、O、C共线.∴AX、BY、CZ共点.

　　7. 设 及△ABC=1.

　　这时，△ABD=3，△BCD=4，△ACD=3+4-1=6.△ABM=r，△BCM=1-r，△BCN=4r，△ACN=6r，△CNM=△BCN-△BCM=4r-(1-r)=5r-1，△AMN=△ACN-△CNM=6r-(5r-1)=r+1

　　.因此， 所以 解得 即M与N分别是AC与CD的中点.

　　7作AH⊥BC，设AH=h.又作PD⊥BC，设PD=p.显然ah=ap+cq+rb，∴cq+br=a(h-p)≤ax.

　　此处无图

　　8.如图，设AB=c，AC=b，c>b.BD=hb，CE=hc.易知b-hc≥0，c-hb≥0，chc=bhb.∴bc-chc=bc-bhb=b(c-hb)

　　9.作法：如图，作△ABC的中位线B′C′并延长B′C′至M，使B′M= B′C′.作B′E⊥BC，垂足为E(当∠A为△ABC的最大内角时，E必为BC的内点)，作MD∥B′E，交AB于D.选DC′的任一内点G，连结GB′、CE，并将点B′改名为F，则△EFG即为所求.

　　此处无图.

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