2011年中招考试：《初中数学》竞赛训练题(3)

　　三、解答题：

　　13.已知a, b, c∈R+，且满足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。

　　解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 )2+(2 +2 )2=

　　4ab+8ac+8bc+16c 。所以 ≥ 。

　　当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。

　　14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线 的距离为2，Q是 上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交 于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。

　　解：以 为x轴，点P到 的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= =1+r。所以x=± , ∴tan∠MAN= ，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN= ，所以m+r k =nhr，∴m+(1-nh)r= ，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以 ，由(1)(2)式，得m=0, k=0，由(3)式，得n= 。由2m=h2+k2-3得h=± ，所以tan∠MAN= =h=± 。所以∠MAN=60°或120°(舍)(当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°)，故∠MAN=60°。

　　15. 数列 定义如下： ，且当 时， 已知 ，求正整数n.

　　解 由题设易知， .又由 ，可得，当n为偶数时， ;当 是奇数时， .

　　由 ，所以n为偶数，于是 ，所以， 是奇数.

　　于是依次可得：

　　， 是偶数，

　　， 是奇数，

　　， 是偶数，

　　， 是奇数，

　　， 是偶数，

　　， 是偶数，

　　， 是奇数，

　　， 是偶数，

　　， 是奇数，

　　， 是偶数，

　　，

　　所以， ，解得，n=238.

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