2016中考数学备考专项练习(2)：矩形菱形

　　一、选择题

　　1. (2014•上海，第6题4分)如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是(　　)

　　A. △ABD与△ABC的周长相等

　　B. △ABD与△ABC的面积相等

　　C. 菱形的周长等于两条对角线之和的两倍

　　D. 菱形的面积等于两条对角线之积的两倍

　　考点： 菱形的性质.

　　分析： 分别利用菱形的性质结合各选项进而求出即可.

　　解答： 解：A、∵四边形ABCD是菱形，

　　∴AB=BC=AD，

　　∵AC

　　∴△ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误;

　　B、∵S△ABD=S平行四边形ABCD，S△ABC=S平行四边形ABCD，

　　∴△ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确;

　　C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误;

　　D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误;

　　故选：B.

　　点评： 此题主要考查了菱形的性质应用，正确把握菱形的性质是解题关键.

　　2. (2014•山东枣庄，第7题3分)如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为( )

　　A. 22 B. 18 C. 14 D. 11

　　考点： 菱形的性质

　　分析： 根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠BCA，再根据等角的余角相等求出∠BAE=∠E，根据等角对等边可得BE=AB，然后求出EC，同理可得AF，然后判断出四边形AECF是平行四边形，再根据周长的定义列式计算即可得解.

　　解答： 解：在菱形ABCD中，∠BAC=∠BCA，

　　∵AE⊥AC，

　　∴∠BAC+∠BAE=∠BCA+∠E=90°，

　　∴∠BAE=∠E，

　　∴BE=AB=4，

　　∴EC=BE+BC=4+4=8，

　　同理可得AF=8，

　　∵AD∥BC，

　　∴四边形AECF是平行四边形，

　　∴四边形AECF的周长=2(AE+EC)=2(3+8)=22.

　　故选A.

　　点评： 本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，等角的余角相等的性质，平行四边形的判定与性质，熟记性质并求出EC的长度是解题的关键.

　　3. (2014•山东烟台，第6题3分)如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为(　　)

　　A. 28° B. 52° C. 62° D. 72°

　　考点：菱形的性质，全等三角形.

　　分析：根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数.

　　解答：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB=BC，

　　∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，

　　在△AMO和△CNO中，∵ ，∴△AMO≌△CNO(ASA)，

　　∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，

　　∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°.故选C.

　　点评： 本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质.

　　4.(2014•山东聊城，第9题，3分)如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD.若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为(　　)

　　A. 2 B. 3 C. 6 D.

　　考点： 矩形的性质;菱形的性质.

　　分析： 根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF是菱形，所以BE，AE可求出进而可求出BC的长.

　　解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，

　　∴∠A=90°，

　　即BA⊥BF，

　　∵四边形BEDF是菱形，

　　∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，

　　∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，

　　∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，

　　∴BE= =2 ，

　　∴BF=BE=2 ，

　　∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO

　　∴CF=AE= ，

　　∴BC=BF+CF=3 ，

　　故选B.

　　点评： 本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°.

　　5. (2014•浙江杭州，第5题，3分)下列命题中，正确的是(　　)

　　A. 梯形的对角线相等 B. 菱形的对角线不相等

　　C. 矩形的对角线不能相互垂直 D. 平行四边形的对角线可以互相垂直

　　考点： 命题与定理.

　　专题： 常规题型.

　　分析： 根据等腰梯形的判定与性质对A进行判断;根据菱形的性质对B进行判断;根据矩形的性质对C进行判断;根据平行四边形的性质对D进行判断.

　　解答： 解：A、等腰梯形的对角线相等，所以A选项错误;

　　B、菱形的对角线不一定相等，若相等，则菱形变为正方形，所以B选项错误;

　　C、矩形的对角线不一定相互垂直，若互相垂直，则矩形变为正方形，所以C选项错误;

　　D、平行四边形的对角线可以互相垂直，此时平行四边形变为菱形，所以D选项正确.

　　故选D.

　　点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式;有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.

　　6.(2014年贵州黔东南10.(4分))如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为(　　)

　　A. 6 B. 12 C. 2 D. 4

　　考点： 翻折变换(折叠问题).

　　分析： 设BE=x，表示出CE=16﹣x，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解.

　　解答： 解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=16﹣x，

　　∵沿EF翻折后点C与点A重合，

　　∴AE=CE=16﹣x，

　　在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，

　　即82+x2=(16﹣x)2，

　　解得x=6，

　　∴AE=16﹣6=10，

　　由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，

　　∵矩形ABCD的对边AD∥BC，

　　∴∠AFE=∠CEF，

　　∴∠AEF=∠AFE，

　　∴AE=AF=10，

　　过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，

　　∴EH=AB=8，

　　AH=BE=6，

　　∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，

　　在Rt△EFH中，EF= = =4 .

　　故选D.

　　点评： 本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口.

　　7.(2014•遵义9.(3分))如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为(　　)

　　A. B. C. D.

　　考点： 相似三角形的判定与性质;正方形的性质;圆周角定理

　　分析： 先求出CP、BF长，根据勾股定理求出BP，根据相似得出比例式，即可求出答案.

　　解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，

　　∴∠ABC=∠PCF=90°，CD∥AB，

　　∵F为CD的中点，CD=AB=BC=2，

　　∴CP=1，

　　∵PC∥AB，

　　∴△FCP∽△FBA，

　　∴ = =，

　　∴BF=4，

　　∴CF=4﹣2=2，

　　由勾股定理得：BP= = ，

　　∵四边形ABCD是正方形，

　　∴∠BCP=∠PCF=90°，

　　∴PF是直径，

　　∴∠E=90°=∠BCP，

　　∵∠PBC=∠EBF，

　　∴△BCP∽△BEF，

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　∴EF= ，

　　故选D.

　　点评： 本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目比较好，难度适中.

　　8.(2014•十堰9.(3分))如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB.若DG=3，EC=1，则DE的长为(　　)

　　A. 2 B. C. 2 D.

　　考点： 勾股定理;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

　　分析： 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解.

　　解答： 解：∵AD∥BC，DE⊥BC，

　　∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB

　　∵点G为AF的中点，

　　∴DG=AG，

　　∴∠GAD=∠GDA，

　　∴∠CGD=2∠CAD，

　　∵∠ACD=2∠ACB，

　　∴∠ACD=∠CGD，

　　∴CD=DG=3，

　　在Rt△CED中，DE= =2 .

　　故选：C.

　　点评： 综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3.

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