2016中考数学备考专项练习(16)：开放性问题

　　考点： 二次函数综合题

　　分析： ①将(1，0)点代入函数，解出k的值即可作出判断;

　　②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假;

　　③根据二次函数的增减性，即可作出判断;

　　④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.

　　解答： 解：①真，将(1，0)代入可得：2k﹣(4k+1)﹣k+1=0，

　　解得：k=0.

　　运用方程思想;

　　②假，反例：k=0时，只有两个交点.运用举反例的方法;

　　③假，如k=1，﹣ =，当x>1时，先减后增;运用举反例的方法;

　　④真，当k=0时，函数无最大、最小值;

　　k≠0时，y最= =﹣ ，

　　∴当k>0时，有最小值，最小值为负;

　　当k<0时，有最大值，最大值为正.运用分类讨论思想.

　　点评： 本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般.

　　6. (2014•陕西,第26题12分)问题探究

　　(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长;

　　(2)如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长;

　　问题解决

　　(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°?若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由.

　　考点： 圆的综合题;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;勾股定理;三角形中位线定理;矩形的性质;正方形的判定与性质;直线与圆的位置关系;特殊角的三角函数值

　　专题： 压轴题;存在型.

　　分析： (1)由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题.

　　(2)以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.

　　(3)要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长.

　　解答： 解：(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，

　　则PA=PD.

　　∴△PAD是等腰三角形.

　　∵四边形ABCD是矩形，

　　∴AB=DC，∠B=∠C=90°.

　　∵PA=PD，AB=DC，

　　∴Rt△ABP≌Rt△DCP(HL).

　　∴BP=CP.

　　∵BC=4，

　　∴BP=CP=2.

　　②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，.

　　则DA=DP′.

　　∴△P′AD是等腰三角形.

　　∵四边形ABCD是矩形，

　　∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°.

　　∵AB=3，BC=4，

　　∴DC=3，DP′=4.

　　∴CP′= = .

　　∴BP′=4﹣ .

　　③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，

　　则AD=AP″.

　　∴△P″AD是等腰三角形.

　　同理可得：BP″= .

　　综上所述：在等腰三角形△ADP中，

　　若PA=PD，则BP=2;

　　若DP=DA，则BP=4﹣ ;

　　若AP=AD，则BP= .

　　(2)∵E、F分别为边AB、AC的中点，

　　∴EF∥BC，EF= BC.

　　∵BC=12，

　　∴EF=6.

　　以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②.

　　∵AD⊥BC，AD=6，

　　∴EF与BC之间的距离为3.

　　∴OQ=3

　　∴OQ=OE=3.

　　∴⊙O与BC相切，切点为Q.

　　∵EF为⊙O的直径，

　　∴∠EQF=90°.

　　过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②.

　　∵EG⊥BC，OQ⊥BC，

　　∴EG∥OQ.

　　∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，

　　∴四边形OEGQ是正方形.

　　∴GQ=EO=3，EG=OQ=3.

　　∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，

　　∴BG= .

　　∴BQ=GQ+BG=3+ .

　　∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+ .

　　(3)在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°.

　　理由如下：

　　以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，

　　作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K.

　　设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，

　　过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③.

　　则⊙O是△ABG的外接圆，

　　∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，

　　∴AP=PB= AB.

　　∵AB=270，

　　∴AP=135.

　　∵ED=285，

　　∴OH=285﹣135=150.

　　∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，

　　∴∠BAK=∠GAK=30°.

　　∴OP=AP•tan30°

　　=135×

　　=45 .

　　∴OA=2OP=90 .

　　∴OH

　　∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③.

　　∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90 ..

　　∵OH⊥CD，OH=150，OM=90 ，

　　∴HM= = =30 .

　　∵AE=400，OP=45 ，

　　∴DH=400﹣45 .

　　若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400﹣45 +30 .

　　∵400﹣45 +30 >340，

　　∴DM>CD.

　　∴点M不在线段CD上，应舍去.

　　若点M在点H的右边，则DM=DH﹣HM=400﹣45 ﹣30 .

　　∵400﹣45 ﹣30 <340，

　　∴DM

　　∴点M在线段CD上.

　　综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，

　　此时DM的长为(400﹣45 ﹣30 )米.

　　点评： 本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强.而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键.

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